10.11 Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions
Welcome to AP Calc 10.11! In this lesson, youโll learn how to approximate a function over at a point.
๐ง
This is an AP Calculus BC topic only! If you are taking Calculus AB, you can skip this material. If youโre taking AP Calculus BC, here you go! โฌ๏ธ
๐ย Taylor Approximations Theorem
This theorem states that for a function f ( x ) f(x) f ( x ) , itโs Taylor series approximation at x = a x=a x = a isโฆ
โ n = 0 โ f ( n ) ( a ) n ! โ
( x โ a ) n \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x-a)^n n = 0 โ โ โ n ! f ( n ) ( a ) โ โ
( x โ a ) n
This can be rewritten asโฆ
f ( a ) + f โฒ ( a ) ( x โ a ) + f โฒ โฒ ( a ) 2 ! ( x โ a ) 2 + f โฒ โฒ โฒ ( a ) 3 ! ( x โ a ) 3 + . . . + f ( n ) ( a ) n ! ( x โ a ) n f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n f ( a ) + f โฒ ( a ) ( x โ a ) + 2 ! f โฒโฒ ( a ) โ ( x โ a ) 2 + 3 ! f โฒโฒโฒ ( a ) โ ( x โ a ) 3 + ... + n ! f ( n ) ( a ) โ ( x โ a ) n
where f ( n ) ( a ) f^{(n)}(a) f ( n ) ( a ) is the n th n^{\text{th}} n th deriviative of the function and f ( 0 ) ( a ) = f ( x ) f^{(0)}(a)=f(x) f ( 0 ) ( a ) = f ( x ) . The n th n^{\text{th}} n th -order Taylor polynomial is the n th n^{\text{th}} n th partial sum of the infinite series.
Taylor series centered at x = 0 x=0 x = 0 are common and are called Maclaurin series .
๐งฑย Breaking Down the Theorem
Taylor series look very daunting when you first approach them. Letโs define each portion and build a table that will help you tackle problems of this type!
n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n 0 1 f ( x ) f ( a ) ( x โ a ) 0 f ( a ) 1 โ
( x โ a ) 0 1 1 f โฒ ( x ) f โฒ ( a ) ( x โ a ) 1 f โฒ ( a ) 1 โ
( x โ a ) 1 2 2 f โฒ โฒ ( x ) f โฒ โฒ ( a ) ( x โ a ) 2 f โฒ โฒ ( a ) 2 โ
( x โ a ) 2 3 6 f โฒ โฒ โฒ ( x ) f โฒ โฒ โฒ ( a ) ( x โ a ) 3 f โฒ โฒ โฒ ( a ) 6 โ
( x โ a ) 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
0 & 1 & f(x) & f(a)&(x-a)^0 & \frac{f(a)}{1}\cdot(x-a)^0 \\
1 & 1 & f'(x) & f'(a)&(x-a)^1 & \frac{f'(a)}{1}\cdot(x-a)^1 \\
2 & 2 & f''(x) & f''(a)&(x-a)^2 & \frac{f''(a)}{2}\cdot(x-a)^2 \\
3 & 6 & f'''(x) & f'''(a)&(x-a)^3 & \frac{f'''(a)}{6}\cdot(x-a)^3 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... \\
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
\hline
\end{array} n 0 1 2 3 ... n โ n ! 1 1 2 6 ... n ! โ f n ( x ) f ( x ) f โฒ ( x ) f โฒโฒ ( x ) f โฒโฒโฒ ( x ) ... f n ( x ) โ f n ( a ) f ( a ) f โฒ ( a ) f โฒโฒ ( a ) f โฒโฒโฒ ( a ) ... f n ( a ) โ ( x โ a ) n ( x โ a ) 0 ( x โ a ) 1 ( x โ a ) 2 ( x โ a ) 3 ... ( x โ a ) n โ n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n 1 f ( a ) โ โ
( x โ a ) 0 1 f โฒ ( a ) โ โ
( x โ a ) 1 2 f โฒโฒ ( a ) โ โ
( x โ a ) 2 6 f โฒโฒโฒ ( a ) โ โ
( x โ a ) 3 ... n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n โ โ
Now, letโs try a practice problem using this table to walk through it step by step.
โ๏ธย Applying the Theorem
Find the third-degree Maclaurin polynomial for e 5 x e^{5x} e 5 x .
Solution: First, letโs build our table. Remember that a Maclaurin series is just a Taylor series where a = 0 a=0 a = 0 !
n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n 0 1 e 5 x 1 1 1 1 1 5 e 5 x 5 x 5 x 2 2 25 e 5 x 25 x 2 25 x 2 / 2 3 6 125 e 5 x 125 x 3 125 x 3 / 6 \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
0 & 1 & e^{5x} & 1&1 & 1 \\
1 & 1 & 5e^{5x} & 5&x & 5x \\
2 & 2 & 25e^{5x} & 25&x^2 & 25x^2/2 \\
3 & 6 & 125e^{5x} & 125&x^3 & 125x^3/6 \\
\hline
\end{array} n 0 1 2 3 โ n ! 1 1 2 6 โ f n ( x ) e 5 x 5 e 5 x 25 e 5 x 125 e 5 x โ f n ( a ) 1 5 25 125 โ ( x โ a ) n 1 x x 2 x 3 โ n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n 1 5 x 25 x 2 /2 125 x 3 /6 โ โ
Now, we just put the terms in our final column together as a full formula. The third-degree Maclaurin polynomial for e 5 x e^{5x} e 5 x is:
1 + 5 x + 25 2 x 2 + 125 6 x 3 1+5x+\frac{25}{2}x^2+\frac{125}{6}x^3 1 + 5 x + 2 25 โ x 2 + 6 125 โ x 3
๐ย Practice
Now itโs your turn to apply what youโve learned!
โProblems
Find the fifth-degree Maclaurin polynomial for f ( x ) = cos ( x ) f(x)=\text{cos}(x) f ( x ) = cos ( x ) .
Find the third-degree Taylor polynomial for f ( x ) = ln ( x ) f(x)=\text{ln}(x) f ( x ) = ln ( x ) about x = 1 x=1 x = 1 .
Find the fourth-degree Taylor polynomial about x = 2 x=2 x = 2 for f ( x ) = x f(x)=\sqrt{x} f ( x ) = x โ .
๐กย Solution for Question 1
Start by building your table and filling in the values:
n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n 0 1 cos ( x ) 1 1 1 1 1 โ sin ( x ) 0 x 0 2 2 โ cos ( x ) โ 1 x 2 โ x 2 / 2 3 6 sin ( x ) 0 x 3 0 4 24 cos ( x ) 1 x 4 x 4 / 24 5 120 โ sin ( x ) 0 x 5 0 \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
0 & 1 & \text{cos}(x) & 1&1 & 1 \\
1 & 1 & -\text{sin}(x) & 0&x & 0 \\
2 & 2 & -\text{cos}(x) & -1&x^2 & -x^2/2 \\
3 & 6 & \text{sin}(x) & 0&x^3 & 0 \\
4 & 24 & \text{cos}(x) & 1&x^4 & x^4/24 \\
5 & 120 & -\text{sin}(x) & 0&x^5 & 0 \\
\hline
\end{array} n 0 1 2 3 4 5 โ n ! 1 1 2 6 24 120 โ f n ( x ) cos ( x ) โ sin ( x ) โ cos ( x ) sin ( x ) cos ( x ) โ sin ( x ) โ f n ( a ) 1 0 โ 1 0 1 0 โ ( x โ a ) n 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 โ n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n 1 0 โ x 2 /2 0 x 4 /24 0 โ โ
Putting it all together, we get that the fifth-degree Maclaurin polynomial for f ( x ) = cos ( x ) f(x)=\text{cos}(x) f ( x ) = cos ( x ) is
1 โ x 2 2 + x 2 4 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4} 1 โ 2 x 2 โ + 4 x 2 โ
๐กย Solution for Question 2
Keep on building your tables! This time, our ( x โ a ) n (x-a)^n ( x โ a ) n column will be a bit more complicated.
n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n 0 1 ln ( x ) 0 1 0 1 1 1 / x 1 ( x โ 1 ) ( x โ 1 ) 2 2 โ 1 / x 2 โ 1 ( x โ 1 ) 2 โ 1 2 ( x โ 1 ) 2 3 6 2 / x 3 2 / 3 ( x โ 1 ) 3 1 9 ( x โ 1 ) 3 \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
0 & 1 & \text{ln}(x) & 0&1 & 0 \\
1 & 1 & 1/x & 1&(x-1) & (x-1) \\
2 & 2 & -1/x^2 & -1&(x-1)^2 & -\frac{1}{2}(x-1)^2 \\
3 & 6 & 2/x^3 & 2/3&(x-1)^3 & \frac{1}{9}(x-1)^3 \\
\hline
\end{array} n 0 1 2 3 โ n ! 1 1 2 6 โ f n ( x ) ln ( x ) 1/ x โ 1/ x 2 2/ x 3 โ f n ( a ) 0 1 โ 1 2/3 โ ( x โ a ) n 1 ( x โ 1 ) ( x โ 1 ) 2 ( x โ 1 ) 3 โ n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n 0 ( x โ 1 ) โ 2 1 โ ( x โ 1 ) 2 9 1 โ ( x โ 1 ) 3 โ โ
We then find the polynomial to be equal to:
( x โ 1 ) โ 1 2 ( x โ 1 ) 2 + 1 9 ( x โ 1 ) 3 (x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{9}(x-1)^3 ( x โ 1 ) โ 2 1 โ ( x โ 1 ) 2 + 9 1 โ ( x โ 1 ) 3
๐กย Solution for Question 3
One more table!
n n ! f n ( x ) f n ( a ) ( x โ a ) n f n ( a ) n ! โ
( x โ a ) n 0 1 x 2 1 2 1 1 1 2 x 1 2 2 ( x โ 2 ) 1 2 2 โ
( x โ 2 ) 2 2 โ 1 4 x 3 โ 1 4 8 ( x โ 2 ) 2 โ 1 8 8 โ
( x โ 2 ) 2 3 6 3 8 x 5 3 8 32 ( x โ 2 ) 3 3 48 32 โ
( x โ 2 ) 3 4 24 โ 15 16 x 7 โ 15 16 128 ( x โ 2 ) 4 โ 15 384 128 โ
( x โ 2 ) 4 \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }
\hline
n & n! & f^n(x) & f^n(a)&(x-a)^n & \frac{f^n(a)}{n!}\cdot(x-a)^n \\
0 & 1 & \sqrt{x} & \sqrt{2}&1 & \sqrt{2} \\
1 & 1 & \frac{1}{2\sqrt{x}} & \frac{1}{2\sqrt{2}}&(x-2) & \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot(x-2)\\
2 & 2 & -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} & -\frac{1}{4\sqrt{8}}&(x-2)^2 & -\frac{1}{8\sqrt{8}}\cdot(x-2)^2 \\
3 & 6 & \frac{3}{8\sqrt{x^5}} & \frac{3}{8\sqrt{32}}&(x-2)^3 & \frac{3}{48\sqrt{32}}\cdot (x-2)^3 \\
4 & 24 & -\frac{15}{16\sqrt{x^7}} & -\frac{15}{16\sqrt{128}}&(x-2)^4 & -\frac{15}{384\sqrt{128}}\cdot(x-2)^4 \\
\hline
\end{array} n 0 1 2 3 4 โ n ! 1 1 2 6 24 โ f n ( x ) x โ 2 x โ 1 โ โ 4 x 3 โ 1 โ 8 x 5 โ 3 โ โ 16 x 7 โ 15 โ โ f n ( a ) 2 โ 2 2 โ 1 โ โ 4 8 โ 1 โ 8 32 โ 3 โ โ 16 128 โ 15 โ โ ( x โ a ) n 1 ( x โ 2 ) ( x โ 2 ) 2 ( x โ 2 ) 3 ( x โ 2 ) 4 โ n ! f n ( a ) โ โ
( x โ a ) n 2 โ 2 2 โ 1 โ โ
( x โ 2 ) โ 8 8 โ 1 โ โ
( x โ 2 ) 2 48 32 โ 3 โ โ
( x โ 2 ) 3 โ 384 128 โ 15 โ โ
( x โ 2 ) 4 โ โ
If we put this all together, we get:
2 + 1 2 2 โ
( x โ 2 ) โ 1 8 8 โ
( x โ 2 ) 2 + 3 48 32 โ
( x โ 2 ) 3 โ 15 384 128 โ
( x โ 2 ) 4 \sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot(x-2)-\frac{1}{8\sqrt{8}}\cdot(x-2)^2+\frac{3}{48\sqrt{32}}\cdot (x-2)^3 -\frac{15}{384\sqrt{128}}\cdot(x-2)^4 2 โ + 2 2 โ 1 โ โ
( x โ 2 ) โ 8 8 โ 1 โ โ
( x โ 2 ) 2 + 48 32 โ 3 โ โ
( x โ 2 ) 3 โ 384 128 โ 15 โ โ
( x โ 2 ) 4
We can simplify a few of these terms a bit more using exponent rules to get:
2 + x โ 2 2 2 โ ( x โ 2 ) 2 16 2 + ( x โ 2 ) 3 64 2 โ 5 ( x โ 2 ) 4 1024 2 \sqrt{2}+\frac{x-2}{2\sqrt{2}}-\frac{(x-2)^2}{16\sqrt{2}}+\frac{(x-2)^3}{64\sqrt{2}} -\frac{5(x-2)^4}{1024\sqrt{2}} 2 โ + 2 2 โ x โ 2 โ โ 16 2 โ ( x โ 2 ) 2 โ + 64 2 โ ( x โ 2 ) 3 โ โ 1024 2 โ 5 ( x โ 2 ) 4 โ
This is the fourth-degree Taylor polynomial centered at x = 2 x=2 x = 2 for 2 \sqrt{2} 2 โ .
๐ซย Closing
Great work! Taylor polynomials may seem daunting at first, but when in doubt, break it down with a table and youโll be sure to master them!